Question

已知數(shù)列）．
（1）求a₂，a₃；并數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=；
（3）設(shè)c_n=．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件易求得a₂，a₃；觀察發(fā)現(xiàn)此遞推式可以變形為，由此可構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，求得此數(shù)列的通項(xiàng)，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論可得b_n=，觀察此數(shù)列的通項(xiàng)公式，知此數(shù)列可以用錯(cuò)位相減法求和；
（3）由c_n=，可得c_n=，由于要證，故可以用放大的方法尋求證明的不等式；
解答：解：（1）∵a₁=2，）
∴a₂=16，a₃=72
又為等比數(shù)列
∴
（2）b_n=
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（3）c_n=
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n
=
＜]
=
＜
=
所以結(jié)論成立
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求和的技巧放縮法證明不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握錯(cuò)位相減法的技巧，放縮法的技巧，本題中第二問(wèn)的求解用到了錯(cuò)位相減法，如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)與一個(gè)等差數(shù)列的序號(hào)相同的項(xiàng)相乘得到，則此數(shù)列的和就得用錯(cuò)位相減法，第三問(wèn)中用到了放大的技巧，要注意不要放得過(guò)大，放縮法證明不等式技巧性很強(qiáng)，需要有有較高的觀察能力與判斷能力，既要放，又不能放得過(guò)了頭，謹(jǐn)記