Question

已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，底面三角形ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E為AA₁的中點，F(xiàn)為BC中點．
（1）求證：直線AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：取B₁C₁中點為S，連接FS，以點F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)S為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
（1）則，，
設(shè)平面BEC₁的法向量為，則
，
即
令y₁=2，則x₁=0，z₁=1，
即，
所以，
故直線AF∥平面BEC₁．
（2）設(shè)平面ABC的法向量，則
．
由于平面BEC₁和平面ABC所成二面角是銳二面角所以其余弦值是．