Question

直三棱柱ABC-A1B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D為BB₁的中點(diǎn)，E為AB₁上的一點(diǎn)，AE=3EB₁。

（1）證明：DE為異面直線AB₁與CD的公垂線；
（2）設(shè)異面直線AB₁與CD的夾角為45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小。

Answer 1

解：（1）連結(jié)A1B，記A1B與AB的交點(diǎn)為F， 因?yàn)槊鍭A1B1B 為正方形， 故A1B⊥AB1且AF=FB1 又AE=3EB1， 所以FE=EB1， 又D為BB1的中點(diǎn)， 故DE∥BF，DE⊥AB1 作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn) 又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B 連結(jié)DG，則DC∥AB1， 故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD 所以DE為異面直線AB與CD的公垂線。 （2）因?yàn)镈C∥AB1， 故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角，∠CDC =45° 設(shè)AB=2，則 作B1H⊥A1C1，H為垂足，因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1C1C， 故B1H⊥面AA1C1C， 又作HK⊥AC1，K為垂足，連結(jié)B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B的平面角 所以二面角A1-AC1-B的大小為arctan。