Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），給出以下四個(gè)論斷：①它的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱；②它的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱；③它的最小正周期是T=π；④它在區(qū)間[-

π

6

，0)上是增函數(shù)．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題，并對(duì)其中的一個(gè)命題加以證明．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的條件得到兩個(gè)正確的命題為（1）①③⇒②④；（2）②③⇒①④，下面對(duì)命題（1）進(jìn)行證明，根據(jù)所給的對(duì)稱軸和最小正周期，求出三角函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)與增區(qū)間．

解答：解：兩個(gè)正確的命題為 （1）①③⇒②④；（2）②③⇒①④．
命題（1）的證明如下：由題設(shè)和③得ω=2，f（x）=sin（2x+?）．
再由①得  2×

π

12

+?=kπ+

π

2

（k∈Z），即?=

π

3

+kπ（k∈Z），
因?yàn)?span id="hhgoxwh" class="MathJye">-

π

2

＜?＜

π

2

，得?=

π

3

（此時(shí)k=0），
所以f(x)=sin(2x+

π

3

)．
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，2x+

π

3

=π，sin(2x+

π

3

)=0，即y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

3

，0）
所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱；
由f(x)=sin(2x+

π

3

)，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

f(x)=sin(2x+

π

3

)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)
當(dāng)k=0時(shí)，[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)為[-

5π

12

，

π

12

]，
而區(qū)間[-

π

6

，0)是[-

5π

12

，

π

12

]的子集
所以y=f（x）它在區(qū)間[-

π

6

，0)上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的確定和三角函數(shù)的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，再進(jìn)行三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)算，本題是一個(gè)中檔題目．