Question

設(shè)是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和。記，其中c為實(shí)數(shù)。

（1）若，且成等比數(shù)列，證明：；

（2）若是等差數(shù)列，證明：。

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)題意時(shí)，可得，即得到通項(xiàng)，則可根據(jù)成等比數(shù)列，得到關(guān)系，從而將化為關(guān)于的式子.進(jìn)而證明結(jié)論.

(2) 根據(jù)是等差數(shù)列,可設(shè)出,則有,將代入,化簡(jiǎn)該式為樣式,通過(guò)令,建立方程組,可解得.則可討論出.

試題解析：

由題意可知.①

（1）由，得.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721213287486862/SYS201411172121393594321175_DA/SYS201411172121393594321175_DA.004.png">成等比數(shù)列，所以，

即，化簡(jiǎn)得.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721213287486862/SYS201411172121393594321175_DA/SYS201411172121393594321175_DA.021.png">，所以.因此對(duì)于所有的，①有.

從而對(duì)于所有的，有。

（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，

即，代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的，

有.

令，

則對(duì)于所有的，有.（*）

在（*）式中分別取，得

，

從而有①，②， ③，

由②③得，代入方程①，得，從而.

即，。

若，則由，得，與題設(shè)矛盾，所以。

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721213287486862/SYS201411172121393594321175_DA/SYS201411172121393594321175_DA.046.png">，所以。

考點(diǎn)：等差數(shù)列前項(xiàng)和,等比中項(xiàng);化繁為簡(jiǎn)的思想,等價(jià)代換的思想.