Question

如圖：四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，且PB=2，在等腰直角三角形PAD中，Q是斜邊AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ⊥平面ABCD；
（2）求二面角Q-PB-D的大小；
（3）點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，等腰直角三角形PAD中，Q是斜邊AD的中點(diǎn)，由求出PB，QB，PQ值，由勾股定理可得PQ⊥QB，又由PQ⊥AD，由線面垂直的判定定理可得PQ⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，求出平面PBD的法向量，及平面PQB的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
（3）連接AC，交QB于O點(diǎn)，連接OM，BM，QM，由線面平行的判定定理可得則需使PA∥OM，由PM=tPC，由平行線分線段成比例定理可得AO=tAC，由底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°可得答案．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PB=2，
∴QB=
又∵三角形PAD為等腰直角三角
∴PQ=1
，
又PQ⊥AD，AD∩QB=Q
故PQ⊥平面ABCD…（3分）
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴BQ⊥AD如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz
則
則=（0，，-1），=（-1，0，-1）
設(shè)是平面PBD的法向量，
則•=0，•=0，
即
令y=1，則
又∵x軸⊥平面PQB
∴是平面PQB的法向量，
∴
∵二面角Q-PB-D是銳角
∴二面角Q-PB-D的大小為…（6分）
（3）連接AC，交QB于O點(diǎn)，連接OM，BM，QM
若使得PA∥平面MQB
則需使PA∥OM
∵PM=tPC
∴AO=tAC
在菱形ABCD中，
可得…．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線面關(guān)系的判定定理，及向量法解二面角問(wèn)題的方法和步驟，是解答本題的關(guān)鍵．