Question

（14分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）   見解析；

【解析】第一問(wèn)中利用：設(shè)橢圓C的方程為 （＞＞）

拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為， 

則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即      

由，∴

第二問(wèn)中，易求出橢圓C的右焦點(diǎn)，

設(shè)，由題意，顯然直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得      

借助于韋達(dá)定理和向量關(guān)系得到坐標(biāo)關(guān)系，消元法求解得到

（1）解：設(shè)橢圓C的方程為 （＞＞），……1分

拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為，  ………………2分

則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即       ………………3分

由，∴，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為         ………………6分

（2）證明：易求出橢圓C的右焦點(diǎn)， ……………7分

設(shè)，由題意，顯然直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得            …………9分

∴，           ………………10分

又，，，，，而 ， ，

即，

∴，，             ……………………12分

所以  ………14分