Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥PD；   
（2）求證：EF∥平面PAD；
（3）若直線EF⊥平面PCD，那么

|PA|

|AD|

=？

Answer 1

分析：（1）證明PA⊥CD，AD⊥CD，證得CD⊥平面PAD，從而有CD⊥PD．
（2）取CD的中點(diǎn)G，由FG是三角形CPD的中位線，可得 FG∥PD，再由舉行的性質(zhì)得 EG∥AD，證明平面EFG∥平面PAD，從而證得EF∥平面PAD．
（3）由條件可得，∠PDA=∠EGF，設(shè)PA=x，AD=y，由于tan∠PDA=

PA

AD

=

x

y

，tan∠EGF=

EF

FG

=

3y2-x2

x2+y2

，得到

x

y

=

3y2-x2

x2+y2

，化簡(jiǎn)得 (

x

y

)4+2 (

x

y

)2-3 = 0，解方程求得

x

y

的值．

解答：解：（1）證明：∵側(cè)棱PA垂直于底面，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
這樣，CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD的中點(diǎn)G，∵E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴FG是三角形CPD的中位線，
∴FG∥PD，F(xiàn)G∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（3）∵直線EF⊥平面PCD，∴EF⊥FG．設(shè)PA=x，AD=y，則 PD=

x2+ y2

．
由于∠PDA 和∠EGF的兩邊分別平行，故∠PDA=∠EGF． EF=

EG2- FG2

=

AD2-( PD 2 )2

=

3y2-x2

2

，
∵tan∠PDA=

PA

AD

=

x

y

，tan∠EGF=

EF

FG

=

3y2-x2 2

x2+y2 2

=

3y2-x2

x2+y2

，
∴

x

y

=

3y2-x2

x2+y2

，∴x⁴+2x²y²-3y⁴=0，∴(

x

y

)4+2 (

x

y

)2-3 = 0，
∴(

x

y

)2=-3（舍去），或  (

x

y

)2=1，∴

x

y

=1，即

PA

AD

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，以及求線段長(zhǎng)度之比，判斷∠PDA=∠EGF 是解題的關(guān)鍵．