Question

已知遞增等比數(shù)列{b_n}滿足b₂•b₄=64，b₅=32，數(shù)列{a_n}滿足an-bn=

1

2n

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}的通項公式cn=nan-

1

2

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵遞增等比數(shù)列{b_n}滿足b₂•b₄=64，b₅=32，設(shè)公比為q，則有  b12 q⁵=64，且 b₁q⁴=32，
解得 b₁=2，q=2，b_n=2ⁿ．
再由 {a_n}滿足an-bn=

1

2n

，得 a_n=b_n+

1

2n

=2ⁿ+

1

2n

．
（Ⅱ）∵數(shù)列c_n=na_n-

1

2

，∴c_n =n 2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹  ②．
①-②可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．