Question

給出下面的數(shù)表序列：

其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1，3，5，…，2n-1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
(Ⅰ)寫出表4，驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)（不要求證明）；
(Ⅱ)每個(gè)數(shù)表中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，…，記此數(shù)列為{b_n}，求和：
。

Answer 1

解：(Ⅰ)表4為
，
它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列，
簡證如下（對(duì)考生不作要求）
首先，表n(n≥3)的第1行1，3，5，…，2n-1是等差數(shù)列，其平均數(shù)為，
其次，若表n的第k(1≤k≤n-1)行a₁，a₂，…，a_n-k+1是等差數(shù)列，則它的第k+l行a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n-k+a_n-k+1也是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表n的第k行中的數(shù)的平均數(shù)與第k+1行中的數(shù)的平均數(shù)分別是
，
由此可知，表n(n≥3)各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列．
(Ⅱ)表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均數(shù)是，
由(Ⅰ)知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第k行中的數(shù)的平均數(shù)是n·2^k-1），
于是，表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為b_n=n·2^n-1，
因此，
，
故

。