Question

3．函數(shù)f（x）=asinx-bcosx，若f（$\frac{π}{4}$+x）=-f（$\frac{π}{4}$-x），則函數(shù)y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）的一條對稱軸方程是（　�。�

• A． x=$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{π}{4}$
• C． x=-$\frac{3π}{2}$
• D． x=-$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由題意，f（$\frac{π}{4}$）=0，求得a=b，故f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$）．化簡函數(shù)y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$acos2x，可得它的圖象的一條對稱軸方程．

解答 解：函數(shù)f（x）=asinx-bcosx，若f（$\frac{π}{4}$+x）=-f（$\frac{π}{4}$-x），則f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，
即 f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=0，故 a=b，故f（x）=a（sinx-cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$）．
則函數(shù)y=f（$\frac{3π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$asin（$\frac{π}{2}$-2x ）═$\frac{\sqrt{2}}{2}$acos2x 的一條對稱軸方程是x=-$\frac{3π}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式，三角函數(shù)的圖象的對稱性，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的圖象的對稱軸，屬于中檔題．