Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．則數(shù)列的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

分析：可根據(jù)a_n=f（2ⁿ）再利用對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2ⁿ，y=2得到遞推關(guān)系式a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后兩邊同除以2ⁿ⁺¹可構(gòu)造出數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項公差為1的等差數(shù)列后就可解決問題了．

解答：解：由于a_n=f（2ⁿ）則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2則f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項公差為1的等差數(shù)列
∴

an

2n

=1+ (n-1)×1=n
∴a_n=n2ⁿ

點評：此題主要考查了利用函數(shù)的特征求數(shù)列的通項公式，是函數(shù)與數(shù)列的綜合題．解題的關(guān)鍵是分別賦予x=2ⁿ，y=2得到a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后構(gòu)造出數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項公差為1的等差數(shù)列后就可求解．同時要對遞推關(guān)系式a_n+1=pa_n+qⁿ通過兩邊同除以qⁿ⁺¹構(gòu)造出{

an

qn

}為等差數(shù)列進而求出a_n的通項公式．