Question

3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（a-b，1）與向量$\overrightarrow{n}$=（a-c，2）共線，且∠A=120°．
（1）a：b：c；
（2）若△ABC外接圓的半徑為14，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線的性質(zhì)可得2b=a+c，設(shè)a=b-d，c=b+d，由余弦定理解得d=-$\frac{2b}{5}$，進(jìn)而可得a=$\frac{7b}{5}$，c=$\frac{3b}{5}$，從而可求a：b：c．
（2）由正弦定理可求a，由（1）可求b，c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$與向量$\overrightarrow{n}$共線，可得：$\frac{a-b}{a-c}=\frac{1}{2}$，
∴2b=a+c，
設(shè)a=b-d，c=b+d，由已知，cosA=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{^{2}+（b+d）^{2}-（b-d）^{2}}{2b（b+d）}$=-$\frac{1}{2}$，
d=-$\frac{2b}{5}$，從而a=$\frac{7b}{5}$，c=$\frac{3b}{5}$，
∴a：b：c=7：5：3．
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=2R，得a=2RsinA=2×14×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=14$\sqrt{3}$，
由（1）設(shè)a=7k，即k=2$\sqrt{3}$，
所以b=5k=10$\sqrt{3}$，c=3k=6$\sqrt{3}$，
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=45$\sqrt{3}$，
所以△ABC的面積為45$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量共線的性質(zhì)，余弦定理，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．