Question

已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的一個(gè)交點(diǎn)，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)₂到漸近線的距離是，過F₂的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由雙曲線的定義及|PF₁|=2|PF₂|求出|PF₁|和|PF₂|，給出的圓的半徑為雙曲線的半焦距，說明△F₁PF₂為直角三角形，利用勾股定理得關(guān)系式可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）由雙曲線的漸近線方程為y=±x，說明雙曲線為等軸雙曲線，再由F₂到漸近線的距離是，結(jié)合a²+b²=c²即可求出雙曲線方程，利用雙曲線的焦半徑公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距離，根據(jù)以AB為直徑的圓與y軸相切，得到，代入坐標(biāo)后整理即可得到線段AB的長(zhǎng)．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)得：，得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²=c²的一個(gè)交點(diǎn)，∴PF₁⊥PF₂，
∴，則16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，故離心率；
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)₂到漸近線的距離是，
∴，所以c=2，又，a²+b²=c²，得a=b=，
所以雙曲線方程為x²-y²=2，F(xiàn)₂（2，0），．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由雙曲線的焦半徑公式得：，
，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴．
∴，則，
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)、雙曲線方程的求法以及直線與雙曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．