Question

給出下列四個(gè)結(jié)論：
①已知△ABC中，三邊a，b，c滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則∠C等于120°．
②若等差數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，則三點(diǎn)共線．
③等差數(shù)列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，則S₃₀=210．
④設(shè)，則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值為．
其中，結(jié)論正確的是 ________．（將所有正確結(jié)論的序號都寫上）

Answer 1

②③④
分析：①利用平方差公式及完全平方公式化簡已知的等式后得到一個(gè)關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的關(guān)系式代入即可求出cosC的值，然后根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
②利用第1和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡得到直線的斜率；然后再利用第3和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡得到直線的斜率，判斷求得的斜率相等與否，即可得到三點(diǎn)共線與否；
③根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，列出2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀和S₂₀的值代入即可求出S₃₀的值；
④先求出f（x）+f（1-x）的值，然后把所求的式子自變量相加為1的兩項(xiàng)結(jié)合得到之和為f（x）+f（1-x）的值的9倍，即可求出所求式子的值．
解答：①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化簡得：a²+b²-c²=ab，
則cosC===，根據(jù)C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51201.png' />==a₁+d，同理=a₁+d，=a₁+d，
則=====，
所以三點(diǎn)共線．此選項(xiàng)正確；
③根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此選項(xiàng)正確；
④因?yàn)閒（x）+f（1-x）=+
=+=+
===，
則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=×9=．此選項(xiàng)正確．
所以，正確的結(jié)論序號有：②③④．
故答案為：②③④
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及余弦定理化簡求值，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，利用歸納總結(jié)找規(guī)律的方法求函數(shù)的值，是一道綜合題．