Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求證：對(duì)于任意，不等式恒成立；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）0.

【解析】

（I）證明不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知 ，要證，只需證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.

（Ⅰ）由題意，對(duì)于任意，要證，只需證，

令，則，

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，所以在上單調(diào)遞增，

所以，

故不等式恒成立．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知 ，

要證：，只需證，

令，則，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，可得，

所以，所以得證，

即，即，所以，

又，所以當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，等號(hào)成立，

故的最小值為0．