Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AH為△ABC的高線，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，求解三角形得到AH，BH的長(zhǎng)度，以BC所在直線為x軸，以HA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出A，B的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AH}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．

解答 解：如圖，

在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
則BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=$4+1-2×2×1×cos120°=5-4×（-\frac{1}{2}）=7$，
由$\frac{1}{2}BC•AH=\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC$，得$\sqrt{7}AH=2×1×sin120°=\sqrt{3}$，∴AH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{3}{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}$．
以BC所在直線為x軸，以HA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（$-\frac{5\sqrt{7}}{7}，0$），A（0，$\frac{\sqrt{21}}{7}$），則$\overrightarrow{AB}=（-\frac{5\sqrt{7}}{7}，-\frac{\sqrt{21}}{7}）$，$\overrightarrow{AH}=（0，-\frac{\sqrt{21}}{7}）$，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AH}=（-\frac{\sqrt{21}}{7}）×（-\frac{\sqrt{21}}{7}）=\frac{3}{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．