Question

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，且a₁=1
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）設函數f（n）=b_n-t•S_n（n∈N^*），其中S_n為數列{a_n}的前n項和，若f（n）＞0對任意的n∈N^*都成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，且a₁=1．可得a_n+a_n+1=2ⁿ，1+a₂=2，解得a₂=1．變形為an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

×2n)，利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）由（1）可得S_n=

1

3

×

2(2n-1)

2-1

+

1

3

[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]=

2n+1-1 3 ，n為奇數 2n+1-2 3 ，n為偶數

．b_n=a_na_n+1=

1

9

[22n+1+2n(-1)n-1-1]．由f（n）＞0對任意的
n∈N^*都成立，即b_n＞t•S_n．對n分類討論，利用數列的單調性即可得出．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，且a₁=1．
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，1+a₂=2，解得a₂=1．
∴an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

×2n)，
∴數列{an-

1

3

×2n}為等比數列，首項a1-

1

3

×2=

1

3

．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
∴a_n=

1

3

×2n+

1

3

×(-1)n-1．
（2）由（1）可得S_n=

1

3

×

2(2n-1)

2-1

+

1

3

[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]=

2n+1-1 3 ，n為奇數 2n+1-2 3 ，n為偶數

．
b_n=a_na_n+1=[

1

3

×2n+

1

3

×(-1)n-1][

1

3

×2n+1+

1

3

(-1)n]=

1

9

[22n+1+2n(-1)n-1-1]．
∵f（n）＞0對任意的n∈N^*都成立，即b_n＞t•S_n．
∴當n為奇數時，可得

1

9

(22n+1+2n-1)＞t•

1

3

(2n+1-1)，化為t＜

22n+1+2n-1

3(2n+1-1)

，即t＜

1

3

(2n+1)，右邊為單調遞增數列，因此t＜1．
當n為偶數時，可得

1

9

(22n+1-2n-1)＞t•

2n+1-2

3

，化為t＜

22n+1-2n-1

3(2n+1-2)

，即t＜

1

3

(2n-

1

2

)，右邊為單調遞增數列，因此t＜

7

6

．
綜上可得：t＜1．
∴t的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、數列的單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．