已知函數(shù)f(x)=(x+5)(x+2),g(x)=x+1.
(1)若x>-1,求函數(shù)的最小值;
(2)若不等式f(x)>ag(x)在x∈[-2,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1),設(shè)x+1=t,由x>-1,知t>0,由此利用均值定理能求出y的最小值.
(2)f(x)>ag(x),即x2+(7-a)x+10-a>0,設(shè)h(x)=x2+(7-a)x+10-a,則不等式f(x)>ag(x)在x∈[-2,2]上恒成立等價(jià)于h(x)在x∈[-2,2]上恒大于0.由此能求出a的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=(x+5)(x+2),g(x)=x+1,

設(shè)x+1=t,∵x>-1,∴t>0
原式化為
當(dāng)且僅當(dāng),即t=2時(shí)取等號(hào),
∴當(dāng)x=1時(shí)y取最小值9. …(6分)
(2)f(x)>ag(x),即x2+(7-a)x+10-a>0,
設(shè)h(x)=x2+(7-a)x+10-a,
則不等式f(x)>ag(x)在x∈[-2,2]上恒成立等價(jià)于h(x)在x∈[-2,2]上恒大于0.
等價(jià)于
解得0<a<9,
故a的取值范圍為(0,9).…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的最小值的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意均值定理、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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