Question

已知橢圓（a＞b＞0）滿足，且橢圓C₁過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓C₁的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直于l₁且與l₁交于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)曲線C₂與x軸交于點(diǎn)Q，C₂上有與Q不重合的不同兩點(diǎn)R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且滿足，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)，（k＞0），所以橢圓C₁的方程為，由橢圓C₁過(guò)點(diǎn)，解得k=1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，由|MP|=|MF₂|，知點(diǎn)M的軌跡C₂是以F₂為焦點(diǎn)，直線l₁為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出軌跡C₂的方程．
（3）Q（0，0），設(shè)，，所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182740648525756/SYS201310241827406485257020_DA/8.png">，所以，化簡(jiǎn)得，由此能求出點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍是[16，+∞）．
解答：解：（1）由已知，可設(shè)，（k＞0），
所以橢圓C₁的方程為，…（2分）
因?yàn)闄E圓C₁過(guò)點(diǎn)，所以有，解得k=1，…（3分）
所以橢圓C₁的方程為．…（4分）
（2）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，…（5分）
由題意，|MP|=|MF₂|，所以點(diǎn)M的軌跡C₂是以F₂為焦點(diǎn)，直線l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
所以軌跡C₂的方程是y²=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），設(shè)，，
所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182740648525756/SYS201310241827406485257020_DA/21.png">，所以，…（12分）
因?yàn)閥₁≠y₂，y₁≠0，化簡(jiǎn)得，…（15分）
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，y₁=±4時(shí)等號(hào)成立．…（16分）
所以，點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍是[16，+∞）．…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．