Question

3．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MC∥平面PAD；
（2）求PC與平面MAC所形成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA中點(diǎn)N，可證四邊形MNDC為平行四邊形，可得CM∥ND，從而證明MC∥平面PAD．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMC的法向量，由此利用向量法能求出PC與平面AMC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取PA中點(diǎn)N，連MN，DN
∵M(jìn)N是△PAB的中位線，所以MN平行且等于$\frac{1}{2}$AB…（1分）
又∵DC平行且等于$\frac{1}{2}$AB，∴MN平行且等于DC…（2分）
∴四邊形MNDC 是平形四邊形…（3分）
∴CM∥ND…（4分）
又∵ND?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD…（6分）
（2）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，$\frac{1}{2}$），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），M（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設(shè)PC與平面AMC所成角為α，
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴PC與平面AMC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面的平行，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．