Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e^-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

Answer 1

分析：（1）求切線的斜率，確定切線的方程，進(jìn)而可表示三角形面積S（t），利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求S（t）的最大值；
（2）由于g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；
（3）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極小值，而且對x∈（-m，+∞）都有h（x）≥h（1-m）=1-m，當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，h（x）≥1-m≥0；當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，h（x）存在最小值h（1-m）=1-m＜0，再分別確定端點(diǎn)的函數(shù)值為正，即可求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=（e^-x）'=-e^-x，f'（0）=-1，切線的斜率為-e^-t，切點(diǎn)（t，e^-t）
故切線的方程為y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0，…（1分）
令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S(t)=

1

2

(t+1)•e-t(t+1)=

1

2

(t+1)2e-t
從而S′(t)=

1

2

e-t(1-t)(1+t)．
∵當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，S'（t）＞0，當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值為S(1)=

2

e

（2）由①知：f（x）=e^-x，∴g（x）=λx+sinx，
∴g'（x）=λ+cosx，
∵函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)
∴g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=-λ-sin1，
∵g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，
∴-λ-sin1＜t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），
則

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，∴

t＜-1 t2-t+sin1＞0

，
而t＜-1時(shí)，t²-t+sin1＞0恒成立，
經(jīng)檢驗(yàn)t=-1也對，∴t≤-1
（3）函數(shù)h（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）連續(xù)，且h′(x)=1-

1

x+m

令h′（x）=0，可得x=1-m
當(dāng)x∈（-m，1-m）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，h（x）＞h（1-m）
當(dāng)x∈（1-m，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，h（x）＞h（1-m）
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，h（1-m）=1-m為極小值，而且對x∈（-m，+∞）都有h（x）≥h（1-m）=1-m
故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，h（x）≥1-m≥0
所以當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，h（x）存在最小值h（1-m）=1-m＜0，函數(shù)h（x）=x-ln（x+m）在[e^-m-m，e^2m-m]上為連續(xù)減函數(shù)．
因?yàn)閔（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0，當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，h（e^-m-m）與h（1-m）異號(hào)
所以存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使h（x₁）=0
而當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，h（e^2m-m）=e^2m-3m＞（1+1）^2m-3m＞1+2m+

2m(2m-1)

2

-3m＞0與h（1-m）異號(hào)
所以存在唯一的x₂∈（1-m，e^2m-m），使h（x₂）=0
故當(dāng)m＞1時(shí)，方程h（x）=0在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根       …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．