Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足x²+y²+2x-4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值：
（1）

y

x-4

；
（2）3x-4y；
（3）x²+y²．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：先求出所給的圓的圓心和半徑，
（1）

y

x-4

 表示圓上的點(diǎn)（x y）與點(diǎn)A（4，0）連線的斜率 k．設(shè)出過點(diǎn)A的圓的切線方程，根據(jù)圓心C到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得k的最大值和最小值．
（2）令t=3x-4y，則t表示直線3x-4y-t=0在y軸上的截距的-

1

4

倍，求出當(dāng)直線t=3x-4y 和圓相切時t的值，可得t=3x-4y 的最大值和最小值．
（3）x²+y²表示圓上的點(diǎn)（x y）到原點(diǎn)的距離的平方，求出圓心C（-1，2）到原點(diǎn)的距離為

5

，可得x²+y²的最大值和最小值．

解答： 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0，即 （x+1）²+（y-2）² =4，表示以C（-1，2）為圓心、半徑等于2的圓．
（1）

y

x-4

 表示圓上的點(diǎn)（x y）與點(diǎn)A（4，0）連線的斜率 k．
設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線方程為y-0=k（x-4），即 kx-y-4k=0，根據(jù)圓心C到切線的距離等于半徑，可得

|-k-2-4k|

k2+1

=2，
求得k=0，或k=-

20

21

，故k的最大值為0，最小值為-

20

21

．
（2）令t=3x-4y，則t表示直線3x-4y-t=0在y軸上的截距的-

1

4

倍，
當(dāng)直線t=3x-4y 和圓相切時，根據(jù)圓心C到切線的距離等于半徑，可得

|-3-8-t|

9+16

=2，
求得t=-1，或 t=-21，故t=3x-4y 的最大值為-1，最小值為-21．
（3）x²+y²表示圓上的點(diǎn)（x y）到原點(diǎn)的距離的平方，由于圓心C（-1，2）到原點(diǎn)的距離為

5

，
故x²+y²的最大值為(

5

+2)2=9+4

5

，最小值為(

5

-2)2=9-4

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的切線性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式、兩點(diǎn)間的距離公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．