Question

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分.）

平面直角坐標(biāo)系中，已知，…，是直線上的個(gè)點(diǎn)（，、均為非零常數(shù)）.

（1）若數(shù)列成等差數(shù)列，求證：數(shù)列也成等差數(shù)列；

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；

（3）若點(diǎn)滿足，我們稱是向量，，…，的線性組合,是該線性組合的系數(shù)數(shù)列.

當(dāng)是向量，，…，的線性組合時(shí)，請(qǐng)參考以下線索：

① 系數(shù)數(shù)列需滿足怎樣的條件，點(diǎn)會(huì)落在直線上？

② 若點(diǎn)落在直線上，系數(shù)數(shù)列會(huì)滿足怎樣的結(jié)論？

③ 能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列滿足的條件，確定在直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)或坐標(biāo)？

試提出一個(gè)相關(guān)命題（或猜想）并開(kāi)展研究，寫(xiě)出你的研究過(guò)程.【本小題將根據(jù)你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過(guò)程中體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分】

Answer 1

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

解：（1）證：設(shè)等差數(shù)列的公差為,

因?yàn)?img width=338 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/41/261041.gif" >，

所以為定值，即數(shù)列也成等差數(shù)列.

（2）證：因?yàn)辄c(diǎn)、和都是直線上一點(diǎn)，故有()

于是，

令，，則有.

（3）（文科）假設(shè)存在點(diǎn)滿足要求,

則有，

又當(dāng)時(shí)，恒有，則又有

，

所以

又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，

于是，

所以，

故，同理，且點(diǎn)在直線上（是、的中點(diǎn)），即存在點(diǎn)滿足要求.

（3）（理科）

提出命題：（在本題大前提下）若點(diǎn)滿足，則系數(shù)數(shù)列的和是點(diǎn)在直線上的充要條件.

證明：設(shè)，由條件，

    先證充分性：“當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上”.

因?yàn)?img width=218 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/57/261057.gif" >，

故

而（），所以

 

 

當(dāng)時(shí)，即有，即點(diǎn)在直線上.

再證必要性：“若點(diǎn)在直線上，則.”

因?yàn)?img width=218 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/57/261057.gif" >，

故

而因?yàn)?img width=77 height=25 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/84/261084.gif" >（），所以

 

 

    又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以滿足，故.

補(bǔ)充：由以上證明進(jìn)一步可知，對(duì)于直線上任一點(diǎn)，若滿足，則都有.