Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有Sn=

n(a1+an)

2

，證明{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

證明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）當(dāng)n=1時(shí)上述等式為恒等式a₁=a₁．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，a_k=a₁+（k-1）d．由題設(shè)，有
S_k=

k(a1+ak)

2

，S_k+1=

(k+1)(a1+ak+1)

2

，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）

(a1+ak+1)

2

=

k(a1+ak)

2

+ak+1
把a(bǔ)_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．
由（1）和（2），等式對(duì)所有的自然數(shù)n成立，從而{a_n}是等差數(shù)列
法二：
當(dāng)n≥2時(shí)，由題設(shè)，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，Sn=

n(a1+an)

2

．
所以a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

同理有
a_n+1=

(n+1)(a1+an-1)

2

-

n(a1+an)

2

．
從而
a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
從而{a_n}是等差數(shù)列．