Question

（2013•連云港一模）某單位決定對本單位職工實行年醫(yī)療費用報銷制度，擬制定年醫(yī)療總費用在2萬元至10萬元（包括2萬元和10萬元）的報銷方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①報銷的醫(yī)療費用y（萬元）隨醫(yī)療總費用x（萬元）增加而增加；②報銷的醫(yī)療費用不得低于醫(yī)療總費用的50%；③報銷的醫(yī)療費用不得超過8萬元．
（1）請你分析該單位能否采用函數(shù)模型y=0.05（x²+4x+8）作為報銷方案；
（2）若該單位決定采用函數(shù)模型y=x-2lnx+a（a為常數(shù)）作為報銷方案，請你確定整數(shù)a的值．（參考數(shù)據：ln2≈0.69，ln10≈2.3）

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)模型y=0.05（x²+4x+8），驗證三個條件，即可得到結論；
（2）利用函數(shù)模型y=x-2lnx+a（a為常數(shù)），結合三個條件，即可確定整數(shù)a的值．

解答：解：（1）函數(shù)y=0.05（x²+4x+8）在[2，10]上是增函數(shù)，滿足條件①，…（2分）
當x=10時，y有最大值7.4萬元，小于8萬元，滿足條件③．…（4分）
但當x=3時，y=

29

20

＜

3

2

，即y≥

x

2

不恒成立，不滿足條件②，
故該函數(shù)模型不符合該單位報銷方案．…（6分）
（2）對于函數(shù)模型y=x-2lnx+a，設f（x）=x-2lnx+a，則f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

≥0．
所以f（x）在[2，10]上是增函數(shù)，滿足條件①，
由條件②，得x-2lnx+a≥

x

2

，即a≥2lnx-

x

2

在x∈[2，10]上恒成立，
令g（x）=2lnx-

x

2

，則g′（x）=

2

x

-

1

2

=

4-x

2x

，由g′（x）＞0得x＜4，
∴g（x）在（0，4）上增函數(shù)，在（4，10）上是減函數(shù)．
∴a≥g（4）=2ln4-2=4ln2-2．…（10分）
由條件③，得f（10）=10-2ln10+a≤8，解得a≤2ln10-2．…（12分）
另一方面，由x-2lnx+a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，
∴a≤2ln2，
綜上所述，a的取值范圍為[4ln2-2，2ln2]，
所以滿足條件的整數(shù)a的值為1．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的建立與運用，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．