Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a＜b＜c)，其圖象在點(diǎn)A（1，f（1）），B（m，f（m））處的切線的斜率分別為0，-a．
（1）求證：0≤

b

a

＜1；
（2）若函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2bx+c，依題意有f′（1）=a+2b+c=0，f'（m）=am²+2bm+c=-a，結(jié)合a＜b＜c，即可得-

1

3

＜

b

a

＜1，將c=-a-2b代入f′（m）=am²+2bm+c=-a得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實(shí)根，故其判別式△=4b²+8ab≥0，從而可得

b

a

≤-2或

b

a

≥ 0，故問(wèn)題得證；
（2）由于f'（x）=ax²+2bx+c的判別式△′=4b²-4ac＞0，所以方程a²+2bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x₁，x₂，
由于f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一個(gè)根，記x₁=1，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[x₂，1]，從而[x₂，1]=[s，t]，進(jìn)而可得|s-t|=|1-x2|=2+

2b

a

，利用0≤

b

a

＜1，可求|s-t|的范圍．

解答：（1）證明：因?yàn)閒′（x）=ax²+2bx+c…（1分）
于是依題意有f′（1）=a+2b+c=0，①…（1分）
f′（m）=am²+2bm+c=-a，②…（1分）
又由a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，
∵a＜b＜c，a＜0
∴-

1

3

＜

b

a

＜1③…（2分）
將c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實(shí)根，故其判別式△=4b²+8ab≥0，
由此可得(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0，
解得

b

a

≤-2或

b

a

≥ 0④…（2分）
由③、④即可得0≤

b

a

＜1；　　…（1分）
（2）解：由于f′（x）=ax²+2bx+c的判別式△′=4b²-4ac＞0，…（1分）
所以方程a²+2bx+c=0（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x₁，x₂，
又由f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一個(gè)根，記x₁=1，…（1分）
則由根與系數(shù)的關(guān)系得1+x2=-

2b

a

，即x2=-1-

2b

a

＜0＜x1，
當(dāng)x＜x₂或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x₂＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，…（1分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[x₂，1]
由題設(shè)[x₂，1]=[s，t]，…（1分）
因此|s-t|=|1-x2|=2+

2b

a

，
由（1）知0≤

b

a

＜1，所以|s-t|∈[2，4）．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．