Question

4．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的通項公式：，
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下．設(shè)c_n=2ⁿ+λb_n．問是否存在實數(shù)λ使得數(shù)列{c_n}（n∈N^*）是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列${a}_{1}，{a}_{1}q，{a}_{1}{q}^{2}，…$，其中a₁≠0，q≠0．由已知列式求得首項和公比，則通項公式可求；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，代入$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，得$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，兩式作差得$_{n}=（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$（n≥2）．求出首項，可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）由c_n=2ⁿ+λb_n．可得當(dāng)n≥3時，${c}_{n}={2}^{n}+（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）λ$，${c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n-1}（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）λ$，依據(jù)題意，有${c}_{n}-{c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n}λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0．
即（-1）ⁿλ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．然后分n為大于或等于4的偶數(shù)和n為大于或等于3的奇數(shù)求得λ的范圍，取交集得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列為：${a}_{1}，{a}_{1}q，{a}_{1}{q}^{2}，…$，其中a₁≠0，q≠0．
由題意知：${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28$，①
${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）$，②
聯(lián)立①②解得q=2或q=$\frac{1}{2}$，
∵等比數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
∴a₁=2，q=2，則${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，
得$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，
兩式作差得：$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，
即$_{n}=（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$（n≥2）．
當(dāng)n=1時，${a}_{1}=\frac{_{1}}{2+1}$，得$_{1}=\frac{3}{2}$．
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）c_n=2ⁿ+λb_n．
∴當(dāng)n≥3時，${c}_{n}={2}^{n}+（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）λ$，${c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n-1}（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）λ$，
依據(jù)題意，有${c}_{n}-{c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n}λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0．
即（-1）ⁿλ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．
①當(dāng)n為大于或等于4的偶數(shù)時，有λ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，
又$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}=-\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$隨n增大而增大，
則當(dāng)n=4時，$（\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}）_{min}=\frac{128}{35}$，故λ的取值范圍為λ＞$-\frac{128}{35}$；
②當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時，有λ＜$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，且僅當(dāng)n=3時，
$（\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}）_{min}=\frac{32}{19}$，故λ的取值范圍為λ＜$\frac{32}{19}$．
又當(dāng)n=2時，由${c}_{n}-{c}_{n-1}={c}_{2}-{c}_{1}=（{2}^{2}+\frac{5}{4}λ）-（2+\frac{3}{2}λ）$＞0，解得λ＜8．
綜上可得，所求λ的取值范圍是{λ|$-\frac{128}{35}＜λ＜\frac{32}{19}$}．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列通項公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查邏輯思維能力與推理運算能力，屬難題．