Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-4|．
（ I）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（ II）如果對?x∈R，f（x）≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-4|=

5-2x ， x≤1 3 ，  1＜x＜4 2x-5 ，  x≥4

，作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可得函數(shù)f（x）的最小值．
（II）由絕對值得意義可得|x-a|+|x-4|≥|a-4|，故有|a-4|≥1，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（ I）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-4|=|x-1|+|x-4|=

5-2x ， x≤1 3 ，  1＜x＜4 2x-5 ，  x≥4

，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：

由圖象可得函數(shù)f（x）的最小值等于3．
（ II）如果對?x∈R，f（x）≥1，故|x-a|+|x-4|≥1對任意實(shí)數(shù)x都成立，
∵由絕對值得意義可得|x-a|+|x-4|≥|a-4|，∴|a-4|≥1，
∴a-4≥1 或a-4≤-1，解得 a≥5 或a≤3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍（5，+∞）∪（-∞，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．