Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

5

2

，虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線與P，若點(diǎn)A滿足：2

OA

=

OF

+

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且

OA

•

OB

=-

1

4

（1）求雙曲線的方程；
（2）過點(diǎn)C（0，-2）的直線l交該雙曲線與不同兩點(diǎn)M，N，求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，點(diǎn)B，F(xiàn)，P的坐標(biāo)分別為B（0，-b），F(xiàn)（c，0），P（c，

b2

a

），由2

OA

=

OF

+

OP

，知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(c，

b2

2a

)，

OA

=(c，

b2

2a

)，

OB

=(0，-b)，由

OA

•

OB

=-

1

4

，知a=2b³．由此能求出雙曲線方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2，聯(lián)立方程組

x2 4 -y2=1 y=kx-2

，得（1-4k²）x²+16kx-20=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

1-4 k2≠0 △=(16k )2+80(1-4k2)＞0

，解得k2＜

5

4

，且k2≠

1

4

，x1+x2=

16k

4k2-1

，x1x2=

20

4k2-1

，所以

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=1+

17

4k2-1

，由此能求出

OM

•

ON

的范圍．

解答：解：（1）由已知，點(diǎn)B，F(xiàn)，P的坐標(biāo)分別為B（0，-b），F(xiàn)（c，0），P（c，

b2

a

），
∵2

OA

=

OF

+

OP

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(c，

b2

2a

)，
則

OA

=(c，

b2

2a

)，

OB

=(0，-b)，
∵

OA

•

OB

=-

1

4

，∴

b2

2a

 •(-b)=- 

1

4

，即a=2b³．
∵e=

c

a

=

5

2

，∴c=

5

2

a，b=

(  5 2 a)2-a2

=

1

2

a，
∴a=2，b=1，
故雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
（2）由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，
聯(lián)立方程組

x2 4 -y2=1 y=kx-2

，得（1-4k²）x²+16kx-20=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

1-4 k2≠0 △=(16k )2+80(1-4k2)＞0

，解得k2＜

5

4

，且k2≠

1

4

，
∴x1+x2=

16k

4k2-1

，x1x2=

20

4k2-1

，
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2
=x₁•x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=

20(1+k2)

4k2-1

- 

32k2

4k2-1

+4
=

4k2+16

4k2-1

=1+

17

4k2-1

，
∵0≤k2＜

5

4

，且k2≠

1

4

，
∴

17

4k2-1

∈(-∞，-17]∪(

17

4

，+∞)，
∴

OM

•

ON

的范圍是(-∞，-16]∪(

21

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，考查推理論證能力，考查計(jì)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．