P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），橢圓短軸上兩個端點(diǎn)分別是B1、B2若直線PB1，PB2分別與x軸交于點(diǎn)M，N，求證：|OM|，a，|ON|成等比數(shù)列．
分析：求出橢圓上下頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（xo，yo）M（xm，0）N（xn，0），利用M，P，B1三點(diǎn)共線求出M，N的橫坐標(biāo)，利用p在橢圓上，推出|OM|•|ON|=a2即可．
解答：解：由橢圓方程知B1（0，b），B2（0，-b）另設(shè)P（xo，yo）M（xm，0）N（xn，0）（2分）
由M，P，B1三點(diǎn)共線，知
y0-b
x0-0
=
0-b
xm-0
（4分）
所以xm=
bx0
b-y0
（6分）
同理得xn=
bx0
b+y0
（9分）|OM|•|ON|=|
b2xo2
b2-yo2
|…①，
又P在橢圓上所以
xo2
a2
+
yo2
b2
=1即b2-yo2=
b2xo2
a2
代入①得              10分
|OM|•|ON|=|
b2xo2
b2-yo2
|=|
b2xo2
b2xo2
a2
|=|a2|=a2（12分）
（或由向量共線，或由直線方程截距式等求得點(diǎn)M坐標(biāo)可相應(yīng)給分）
點(diǎn)評：本題是中檔題，思路明確重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力，也可以由向量共線，或由直線方程截距式等求得點(diǎn)M坐標(biāo)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，定義以原點(diǎn)為圓心，以
a2+b2
為半徑的圓O為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
3
，直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準(zhǔn)圓”相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P為橢圓C的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的“準(zhǔn)圓”的切線段PQ，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，求證：|PQ|=|PF|
（3）過點(diǎn)M(-
6
5
，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，為Q橢圓C的左頂點(diǎn)，是否存在直線l使得△QAB為直角三角形？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點(diǎn)F、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點(diǎn)S（0，2），求使
SP
2取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求隨圓c的離心率e；
（2）若P為橢圓c上一點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)F2、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)Q滿足
PQ
=2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下五個命題中：
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等；
②設(shè)F1、F2為兩個定點(diǎn)，a為正常數(shù)，且||PF1|-|PF2||=2a，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④對任意實(shí)數(shù)k，直線l：kx-y+1-k=0與圓x2+y2-2y-4=0的位置關(guān)系是相交；
⑤P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為它的一個焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相切．
其中真命題的序號為
③④⑤
③④⑤
．（寫出所有真命題的序號）

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