Question

設(shè)a∈[-1，0]，已知函數(shù)f(x)=

-x2+(2a-2)x，x≤0 x3-(a+ 3 2 )x2+2ax，x＞0.

（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且x₁x₂x₃≠0，試證明：x1+x2+x3＞-

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）分段研究，求出各段的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的正負(fù)，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，將曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，轉(zhuǎn)化為f′（x₁）=f′（x₂）=f′（x₃），再利用（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，判斷出x₁，x₂，x₃對應(yīng)函數(shù)值之間的關(guān)系，得到x₁+x₂+x₃與a之間的聯(lián)系，利用a的取值范圍，即可確定x₁+x₂+x₃的取值范圍，從而證得結(jié)論，

解答：證明：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

-x2+(2a-2)x，x≤0 x3-(a+ 3 2 )x2+2ax，x＞0

，
∴設(shè)函數(shù)f₁（x）=-x²+（2a-2）x（x≤0），f₂（x）=x³-（a+

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2

）x²+2ax（x＞0），
①f₁′（x）=-2x+（2a-2）=2a-2（x+1），
∵a∈[-1，0]，
∴當(dāng)-1＜x＜0時，f₁′（x）＜0，即函數(shù)f₁（x）在（-1，0]上單調(diào)遞減，
②f₂′（x）=3x²-（2a+3）x+2a=（x-1）（3x-2a），
∵a∈[-1，0]，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f₂′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f₂′（x）＞0，
∴函數(shù)f₂（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
綜合①②，且f₁（0）=f₂（0）=0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵曲線y=f（x）在點P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，
∴x₁，x₂，x₃互不相等，且f′（x₁）=f′（x₂）=f′（x₃），
不妨設(shè)x₁＜0＜x₂＜x₃，
∵f′（x₂）=f′（x₃），
∴3x₂²-（2a+3）x₂+2a=3x₃²-（2a+3）x₃+2a，
∴3x₂²-3x₃²-（2a+3）（x₂-x₃）=0，
∴x₂+x₃=

2a+3

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，
又∵f′（x₁）=f₁′（x₁）=-2x₁+2a-2=f′（x₂），
而f′（x₂）=f₂′（x₂）＜f₂′（0）=2a，
∴-2x₁+2a-2＜2a，即x₁＞-1，則x₁+x₂+x₃＞-1+

2a+3

3

=

2

3

a，
∵-1≤a≤1，
∴-

2

3

≤

2

3

a≤0，
∴x₁+x₂+x₃＞-

2

3

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．解題中運用的轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法．是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一道綜合性題目．屬于難題．