設(shè)a∈[-1,0],已知函數(shù)f(x)=
-x2+(2a-2)x,x≤0
x3-(a+
3
2
)x2+2ax,x>0.

(Ⅰ)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)處的切線相互平行,且x1x2x3≠0,試證明:x1+x2+x3>-
2
3
分析:(Ⅰ)對函數(shù)f(x)分段研究,求出各段的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的正負(fù),即可證明結(jié)論;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,將曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)處的切線相互平行,轉(zhuǎn)化為f′(x1)=f′(x2)=f′(x3),再利用(Ⅰ)中函數(shù)的單調(diào)性,判斷出x1,x2,x3對應(yīng)函數(shù)值之間的關(guān)系,得到x1+x2+x3與a之間的聯(lián)系,利用a的取值范圍,即可確定x1+x2+x3的取值范圍,從而證得結(jié)論,
解答:證明:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=
-x2+(2a-2)x,x≤0
x3-(a+
3
2
)x2+2ax,x>0

∴設(shè)函數(shù)f1(x)=-x2+(2a-2)x(x≤0),f2(x)=x3-(a+
3
2
)x2+2ax(x>0),
①f1′(x)=-2x+(2a-2)=2a-2(x+1),
∵a∈[-1,0],
∴當(dāng)-1<x<0時,f1′(x)<0,即函數(shù)f1(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,
②f2′(x)=3x2-(2a+3)x+2a=(x-1)(3x-2a),
∵a∈[-1,0],
∴當(dāng)0<x<1時,f2′(x)<0,當(dāng)x>1時,f2′(x)>0,
∴函數(shù)f2(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
綜合①②,且f1(0)=f2(0)=0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f′(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∵曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)處的切線相互平行,
∴x1,x2,x3互不相等,且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3),
不妨設(shè)x1<0<x2<x3
∵f′(x2)=f′(x3),
∴3x22-(2a+3)x2+2a=3x32-(2a+3)x3+2a,
∴3x22-3x32-(2a+3)(x2-x3)=0,
∴x2+x3=
2a+3
3
,
又∵f′(x1)=f1′(x1)=-2x1+2a-2=f′(x2),
而f′(x2)=f2′(x2)<f2′(0)=2a,
∴-2x1+2a-2<2a,即x1>-1,則x1+x2+x3>-1+
2a+3
3
=
2
3
a
,
∵-1≤a≤1,
∴-
2
3
2
3
a≤0
,
∴x1+x2+x3-
2
3
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率,解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上.考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性.解題中運用的轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法.是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一道綜合性題目.屬于難題.
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