Question

已知數(shù)列{ a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，設(shè)b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足cn=

1

log2bn+3

（n∈N^*），設(shè)T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求證，對(duì)一切n∈N^*不等式Tn＜

1

4

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=4a_n+1可得n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+1，兩式作差即可得一遞推式，根據(jù)b_n=a_n+1-2a_n及等比數(shù)列的定義即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，進(jìn)而求得c_n，利用裂項(xiàng)相消法可求得T_n，根據(jù)T_n表達(dá)式即可證明結(jié)論；

解答：證明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+1．        ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．    所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因?yàn)閍₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4． 所以b₁=a₂-2a₁=2．
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，則c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等比數(shù)列的判定及數(shù)列求和，若{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，則{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和可用列項(xiàng)相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）．