在△ABC中，A=
π
3
，BC=2
3
，設(shè)內(nèi)角B=x，△ABC的面積為y，
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）求y的最大值．
分析：（1）由A與B的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理表示出C，求出x的范圍即為y=f（x）的定義域，利用正弦定理表示出AB，利用三角形的面積公式列出函數(shù)解析式即可；
（2）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出y的最大值．
解答：解：（1）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，
∵A=
π
3
，B=x，B＞0，C＞0，
∴C=
2π
3
-x，0＜x＜
2π
3
，即函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，
2π
3
）；
由正弦定理
AB
sinC
=
BC
sinA
，得AB=
BC
sinA
sinC=4sin（
2π
3
-x），
∴y=
1
2
AB•BCsinB=4
3
sinxsin（
2π
3
-x）（0＜x＜
2π
3
）；
（2）y=4
3
sinxsin（
2π
3
-x）=4
3
sinx（
3
2
cosx+
1
2
sinx）=6sinxcosx+2
3
sin2x=3sin2x-
3
cos2x+
3
=2
3
sin（2x-
π
6
）+
3
（-
π
6
＜2x-
π
6
＜
7π
6
），
當(dāng)2x-
π
6
=
π
2
，即x=
π
3
時，y取最大值3
3
．
點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂一模）已知函數(shù)f(x)=cos
x
2
-
3
sin
x
2
．
（I）若x∈[-2π，2π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若f(2A-
2
3
π)=
4
3
，sinB=
5
cosC，a=
2
，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•煙臺二模）在△ABC中，a、b、c為角A、B、C所對的三邊．已知b2+c2-a2=bc
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，設(shè)內(nèi)角B為x，周長為y，求y=f（x）的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，三邊a、b、c成等差數(shù)列，且B=
π
4
，則（cosA一cosC）2的值為
2
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c設(shè)向量
m
=（a，cosB），
n
=（b，cosA）且
m
∥
n
，
m
≠
n

（Ⅰ）若sinA+sinB=
6
2
，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b試確定x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=
7
，∠B=
π
3
，則△ABC的面積為（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案