Question

一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐內又有一個內切球；求
（1）圓錐的側面積；
（2）圓錐的內切球的體積．

Answer 1

解：（1）如圖所示．作軸截面，則等腰三角形CAB內接
于圓O，而圓O₁內切于△CAB，設圓O的半徑為R，
由題意，得，
∴R³=729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
連接AE，∵CE是直徑，∴CA⊥AE，CA²=CD•CE=18×16=288，
∴，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD²=CD•DE=16×2=32，∴，（7分）
∴S_側=；（8分）

（2）設內切圓O₁的半徑為r
∵△ABC的周長為，
∴，∴r=4；（10分）
∴圓錐的內切球O₁的體積V_球=．（12分）
分析：（1）作軸截面，則等腰三角形CAB內接于圓O，而圓O₁內切于△CAB，設圓O的半徑為R，利用已知條件求出R，利用射影定理求出AC，然后求出AD，即可求出圓錐的側面積；
（2）設內切圓O₁的半徑為r，利用三角形ABC的面積公式，求出內切球的半徑，即可求圓錐的內切球的體積．
點評：本題是基礎題，考查球的圓錐，以及圓錐的內接球，軸截面圖形的充分利用，是解題的依據，考查直角三角形的應用，三角形的面積的求法，綜合應用知識的能力，是解好題目的關鍵．