Question

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)AA₁=AB=AC時，求證：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為，試求實數(shù)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積證明，，從而可知A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求出平面ABC₁的法向量=（0，2t-3，t）、平面BCC₁的法向量=（1，1，0），利用向量的夾角公式，建立方程，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
則A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴，
∴，，…（2分）
∴，．…（3分）
又∵AC₁∩AB=A
∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），C₁（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A₁（0，0，3-2t），
∴，，．…（6分）
設(shè)平面ABC₁的法向量=（x，y，z），
則，令z=t，則=（0，2t-3，t）．…（8分）
同理可求平面BCC₁的法向量=（1，1，0）．…（10分）
設(shè)二面角A-BC₁-C的平面角為θ，
則有|cosθ|=||==．
化簡得5t²-16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=．
所以當(dāng)t=時，二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為．…（12分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識．