Question

已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2）設函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）對（2）中的φ（a），證明：當a∈（0，+∞）時，φ（a）≤1．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．
f'（x）=，g'（x）=（x＞0），
由已知得解得
∴兩條曲線交點的坐標為（e²，e）．
切線的斜率為k=f'（e²）=，
∴切線的方程為y﹣e=（x﹣e²）．
（2）由條件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
∴h'（x）=﹣=，
①當a＞0時，令h'（x）=0，解得x=4a²．
∴當0＜x＜4a²時，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上單調(diào)遞減；
當x＞4a²時，h'（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一極值點，且是極小值點，
從而也是h（x）的最小值點．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②當a≤0時，h'（x）=＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）證明：由（2）知φ（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），則φ'（a）=﹣2ln （2a）．
令φ'（a）=0，解得a=．
當0＜a＜時，φ'（a）＞0，
∴φ（a）在（0，）上單調(diào)遞增；
當a＞時，φ'（a）＜0，
∴φ（a）在（，+∞）上單調(diào)遞減．
∴φ（a）在a=處取得極大值φ（）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一個極值點，
∴φ（）=1也是φ（a）的最大值．
∴當a∈（0，+∞）時，總有φ（a）≤1．