Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m＜2，且函數(shù)f（x）的極大值為10e^-2，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，然后研究導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，由于其表達式中含有參數(shù)m，根據(jù)m的取值，確定函數(shù)的極大值，即可得到答案．
解答：解：（1）若m=1，則f（x）=（x²+x+1）e^x；
f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x+1）e^x=（x²+3x+2）e^x；
當x＜-2或x＞-1時，f'（x）＞0；當-2＜x＜-1時，f'（x）＜0；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-2），（-1，+∞）；遞減區(qū)間為（-2，-1）
（2）f'（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=（x+2）（x+m）e^x，
∵m＜2．∴-m＞-2
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（-m，+∞），遞減區(qū)間為（-2，-m）
則在x=-2時，f（x）取得極大值，
∴f（-2）=10e^-2
∴（4-2m+m）e^-2=10e^-2
∴m=-6
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)是解答此類問題的關鍵．