Question

【理科】拋物線頂點在原點，焦點是圓x²+y²-4x=0的圓心．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，與拋物線交于A、B兩點，求弦AB的長；
（3）過點P（1，1）引拋物線的一條弦，使它被點P平分，求這條弦所在的直線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）圓的方程可化為：（x-2）²+y²=4，求出圓心坐標，可得拋物線的方程；
（2）直線l方程為y=2（x-2），代入拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，可求弦AB的長；
（3）當l不垂直于x軸時，設l的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），代入拋物線方程，利用韋達定理，結合中點坐標公式，即可求這條弦所在的直線方程．

解答： 解：（1）圓的方程可化為：（x-2）²+y²=4，圓心坐標為（2，0），
∴拋物線方程為y²=8x，…（4分）
（2）直線l方程為y=2（x-2），
由

y2=8x y=2(x-2)

得：x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+22)(x1-x2)2

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=10，…（8分）
（3）當拋物線過點P（1，1）的弦l⊥x軸時，其方程為x=1，不能被點P平分；
當l不垂直于x軸時，設l的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），
由

y-1=k(x-1) y2=8x

得：ky²-8y+8（1-k）=0，（10分）
∴y1+y2=

8

k

，y1y2=

8(1-k)

k

；
由題意，

y1+y2

2

=1，即

4

k

=1⇒k=4．
∴所求直線方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．…（12分）

點評：本題考查圓的方程與拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．