Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，數(shù)列{b_n}滿足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2+…+

1

3

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=-a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，得到a_n+1-a_n=1，再由等差數(shù)列的定義求解；
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，右邊先用等比數(shù)列前n項(xiàng)和整理，這樣符合一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列相應(yīng)積的形式，用錯(cuò)位相減法求解
（Ⅱ根據(jù)c_n=-a_nb_n，再由（I）求得：cn=

-1，(n=1) 6n 3n ，(n≥2)

，當(dāng)n=1時(shí)，T_n=T₁=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，符合一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)積的形式，用錯(cuò)位相減法求解．

解答：解：（Ⅰ）由點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以a_n=n．
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，
則（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=(

1

3

)n-2++

1

3

+1，（n≥2）
兩式相減得：b 1+b2++bn=(

1

3

)n-1，n≥2．
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=(

1

3

)n-1，n≥2．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1，所以Sn=(

1

3

)n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=(

1

3

)n-1-(

1

3

)n-2=-

2

3

•(

1

3

)n-2．
所以bn=

1，(n=1) - 6 3n ，(n≥2)

．（7分）

（Ⅱ）因?yàn)閏_n=-a_nb_n，所以cn=

-1，(n=1) 6n 3n ，(n≥2)

．
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=T₁=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，
設(shè)Tn=-1+

6×2

32

+

6×3

33

+

6×4

34

++

6×n

3n

=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)．
令T=

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

，則

1

3

T=

2

33

+

3

34

+

4

35

++

n-1

3n

+

n

3n+1

，
兩式相減得：

2

3

T=

2

32

+

1

33

+

1

34

++

1

3n

-

n

3n+1

=

2

9

+

1 27 (1- 1 3n-2 )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

5

18

-

1

2

•

1

3n

-

n

3n+1

，
所以T=

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

．
因此T_n=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)=-1+6(

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

)=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

，n≥2．（13分）
又n=1時(shí)，T₁=-1也滿足上式，故T_n=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和以及用等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)造特殊數(shù)列問題，作為數(shù)列是研究規(guī)律一類知識(shí)，所以建模意識(shí)要強(qiáng)，要轉(zhuǎn)化為特定的數(shù)列去解決問題．