Question

（本小題滿分13分）
已知點，，△的周長為6．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點的直線與曲線相交于不同的兩點，．若點在軸上，且，求點的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

(1)     (2)

試題分析：解：（Ⅰ）由題意可知，，
故動點的軌跡是以，為焦點的橢圓.                   ………………………1分
設(shè)其方程為，則，，，.       ………………………3分
所以橢圓的方程為                          ………………………4分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，滿足條件的點的縱坐標(biāo)為.    ………………………5分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立得，
. .          ………………………6分
設(shè)，，則.
設(shè)的中點為，則，，
所以.                                  ………………………9分
由題意可知，
又直線的垂直平分線的方程為.
令解得.                           ………………………10分
當(dāng)時，因為，所以；
當(dāng)時，因為，所以.           ………………………12分
綜上所述，點縱坐標(biāo)的取值范圍是.               ………………………13分
點評：解決這類問題的關(guān)鍵是能利用已知中的條件，結(jié)合圓錐曲線的定義，來求解軌跡方程，同時能結(jié)合直線與橢圓的方程，聯(lián)立方程組，對于線段相等，運用等腰三角形中線是高線來得到垂直關(guān)系進而得到分析，屬于中檔題。