Question

設(shè)函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立，討論k的符號(hào)，從而求出所求．

解答： 解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立
當(dāng)k=0時(shí)，成立
k＞0時(shí)，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤

1

3

，
k＜0時(shí)，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范圍是k≤

1

3

，
故答案為：（-∞，

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，同時(shí)考查了分析與解決問(wèn)題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題．