Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)x=-

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時(shí)，f （x）取得極大值

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，并且函數(shù)y=f′（x）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象的切線斜率為7，求切線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用y=f′（x）為偶函數(shù)求出b，再利用當(dāng)x=-

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時(shí)，f （x）取得極大值

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，找到關(guān)于a，c的方程解出a，c即可．
（Ⅱ）利用切線斜率就是對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的值求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在代入原函數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，∴f'（-x）=f'（x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，∴2bx=0對(duì)一切x∈R恒成立，
∴b=0，∴f（x）=ax³+cx．
又當(dāng)x=-

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時(shí)，f（x）取得極大值

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．
∴

f(- 2 2 )= 2 3 f′(- 2 2 )=0

，解得

a= 2 3 c=-1

∴f（x）=

2

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x³-x，f?（x）=2x²-1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則有2x₀²-1-7?x₀=±2，對(duì)應(yīng)y=±

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．（9分）
所以切線方程為y=±

10

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=7（x±2），
化簡(jiǎn)得：y=7x±

32

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．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．