Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)為（

2

，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)O到直線 AB的距離為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)為（

2

，0），求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB知x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：由題意知，

c

a

=

6

3

，c=

2

，所以a=

3

．
所以b²=a²-c²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；                        …（4分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，
則設(shè)直線AB：y=kx+m．…（5分）
由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
所以x₁+x₂=

-6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，…（6分）
由OA⊥OB知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（k x₁+m）（k x₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+k m（x₁+x₂）=0     …（8分）
代入，得4m²=3k²+3，
所以原點(diǎn)到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

3

2

．…（10分）
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，|x₁|=|y₁|，可得|x1|=

3

2

=d，依然成立．      …（11分）
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

3

2

．                               …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．