Question

已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線上有一點(diǎn)，A點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1．
（1）求該拋物線的方程；
（2）設(shè)M（x，y）為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過(guò)定點(diǎn)（x+2，-y）．
（3）直線x+my+1=0與拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△NEF為以EF為斜邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義即可得出；
（2）由題意知直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率計(jì)算公式即可證明；
（3）利用（2）的結(jié)論，只要定點(diǎn)滿足△≥0即可．
解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=2px，則由拋物線的定義可得，即p=1，
所以拋物線的方程為 y²=2x．
（2）由題意知直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．
所以y₁+y₂=2m，y₁y=-2n，其中y₁，y₂分別是P，Q的縱坐標(biāo)，
因?yàn)镸P⊥MQ，所以k_MP•k_MQ=-1．
即，所以（y₁+y）（y₂+y）=-4．
，（-2n）+2my+2x+4=0，即n=my+x+2．
所以直線PQ的方程為x=my+my+x+2，
即x=m（y+y）+x+2，它一定過(guò)定點(diǎn)（x+2，-y）．
（3）假設(shè)N（x，y）為滿足條件的點(diǎn)，則由（2）知，點(diǎn)（x+2，-y）在直線x+my+1=0上，
的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0所以存在點(diǎn)N滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、斜率的計(jì)算公式、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．