Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n其中n=1，2，3，…．
（1）若b_n=n且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2時
①求數(shù)列{b_n}的前6n項和；
②判斷數(shù)列{

an

n

}中任意一項的值是否會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次？若存在，求出a₁滿足的條件，若不存在，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用疊加可得，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
可求a_n，
（2）①由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），可有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，即數(shù)列{b_n}，周期為6，數(shù)列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且這六個數(shù)的和為7．從而可求前6n項的和
②解：設c_n=a_6n+i（n≥0），則可得，c_n+1-c_n=7（n≥0）即數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，設fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
分ai=

7i

6

  有

an

n

=

7

6

； 當ai≠

7i

6

時 （i）若ai＞

7i

6

，可得f_k+1＜f_k，即數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)減數(shù)列；（ii）若ai＜

7i

6

，則有f_k+1＞f_k，即數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)增數(shù)列；設集合B={

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}，通過檢驗a₁與B的關系來判定

解答：解：（1）當n≥2時，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1…（3分）
=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．…（4分）
又因為a₁=1也滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項為an=

n2

2

-

n

2

+1．…（5分）
（2-①）解：因為b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
所以，對任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
即數(shù)列{b_n}各項的值重復出現(xiàn)，周期為6．…（8分）
又數(shù)列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且這六個數(shù)的和為7．
設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則，S_6n=7n； …（11分）
②解：設c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5=7（n≥0）
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．…（13分）
設fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i（k≥0），i為{1，2，3，4，5，6}中的一個常數(shù)），
當ai=

7i

6

時，對任意的n=6k+i有

an

n

=

7

6

；                 …（15分）
當ai≠

7i

6

時，fk+1-fk=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)
=(ai-

7i

6

)(

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

)
（i）若ai＞

7i

6

，則對任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)減數(shù)列；
（ii）若ai＜

7i

6

，則對任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)增數(shù)列；
綜上：設集合B={

7

6

}∪{

4

3

}∪{

1

2

}∪{-

1

3

}∪{-

1

6

}∪{

1

2

}={

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}，
當a₁∈B時，數(shù)列{

an

n

}中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次．
當a₁∉B時，{

a6k+i

6k+i

}（i=1，2，3，4，5，6）均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列{

an

n

}中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次．…（18分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，數(shù)列單調(diào)性及數(shù)列的周期性的綜合應用，試題的綜合性較強，基本運算的量較大．