Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）為奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
（1）當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

4

）時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），由周期求得ω=2．再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，求得φ=

π

6

，可得f（x）=2sin2x，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在區(qū)間（-

π

2

，

π

4

）上的減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=2sin（4x-

π

3

），再根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，可得 T=2×

π

2

=

2π

ω

，求得ω=2．
再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得φ-

π

6

=kπ，k∈z，即φ=kπ+

π

6

，故可取φ=

π

6

，故f（x）=2sin2x．
令2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，可得f（x）的減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z．
再結(jié)合x∈（-

π

2

，

π

4

），可得減區(qū)間為[-

π

2

，-

π

4

]．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）的圖象；
再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x-

π

3

）的圖象，
當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，4x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，∴g（x）∈[-2，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．