Question

已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)是F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|且它們的夾角為

π

6

，則雙曲線(xiàn)的離心率e為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為 |

F1P

|判斷兩向量互相垂直得到直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形中內(nèi)角為

π

6

，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義建立等式求得a和c的關(guān)系式，最后根據(jù)離心率公式求得離心率e．

解答：解：∵

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為 |

F1P

|，
∴PF₁⊥PF₂，
又因?yàn)樗鼈兊膴A角為

π

6

，
所以 ∠PF 1F 2=

π

6

，
所以在直角三角形PF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂=2c，
所以PF₂=c，PF₁=

3

c
又根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得：PF₁-PF₂=2a，
∴

3

c-c=2a，
∴

c

a

=

3

+1，
所以e=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)算的能力．解答關(guān)鍵是通過(guò)解三角形求得a，c的關(guān)系從而求出離心率．