Question

10．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（$\frac{π}{24}$）的值；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[-m，m]上是單調遞增函數，求實數m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數公式化簡化簡解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，代入利用特殊角的三角函數值即可計算得解．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數，由[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，解不等式組即可得解m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（$\frac{π}{24}$）=2sin（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）+1=2sin$\frac{π}{4}$+1=$\sqrt{2}+1$，
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得k$π-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）在區(qū)間[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z上是增函數，
∴當k=0時，f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數，
若函數f（x）在區(qū)間[-m，m]上是單調遞增函數，則[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{π}{6}$，
∴m的最大值是$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數公式，特殊角的三角函數值，不等式組的解法，正弦函數的單調性，考查了轉化思想，屬于中檔題．