Question

已知f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
（1）設(shè)f（x）的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求證：{a_n}為等差數(shù)列．
（2）設(shè)f（x）的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{b_n}，求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

（1）證明：∵f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
f（x）的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

4ac-b2

4a

=3n-8
即a_n=3n-8（n∈N^*），
故{a_n}為一個(gè)以-5為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）及f（x）的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{b_n}，
則b_n=|a_n|=|3n-8|
當(dāng)n=1或n=2時(shí)3n-8＜0，b_n=|3n-8|=8-3n b₁=5 b₂=2
n≥3時(shí)3n-8＞0 b_n=|3n-8|=3n-8
Sn=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=5+2+（3×3-8）+（3×4-8）…+（3n-8）
=7+3×（3+4+5+…+n）-8（n-2）
=7+

3(n+3)(n-2)

2

-8（n-2）
=7+

(n-2)(3n+9-16)

2

=7+

(n-2)(3n-7)

2

．
∴S_n=7+

(n-2)(3n-7)

2

．